잡담
혼자 독학하다가 첨에 엄청 쩔쩔매다 공부 방법을 바꿨었는데, 뭔가 엄청 공감가는 글이라 보고 기억해두기 위해 번역한 뒤 올림. 저 스레드를 다 번역할 수는 없어서, 그냥 내가 생각하기에 중요한 부분만 가져왔음.
누구든 수학을 혼자 공부해본 사람은, 수학 우물에 빠져본 적이 있다.
예를 들어, 새로운 단어인 벡터 공간이란 단어를 마주쳤고, 이를 배우고 있다고 생각해 보자. 다양한 정의를 찾아보고선, 이 모든 정의가 체라는 단어를 사용하고 있다. 이번엔 체의 정의를 찾아 나선다. 같은 상황이 반복된다. 군는 또, 군이라는 단어를 사용해 정의된다. 이번엔 또 group이라는 단어의 정의를 찾아야 한다. 이런 걸 나는 수학 우물을 파고 들어간다.라고 부른다.
이런 상황을 처음 마주한 사람은 “뭐 vector space를 배우려면, 나 같으면 그렇게 할 거야”라고 생각할 수도 있다. 그냥, 이건 예시 중 하나일 뿐이다. 이런 행동은, 사실 개인이 깐깐하고 어려운 길을 택하는 것이 아니라, 전적으로 잘못된 길을 걷고 있다는 예시라고 나는 생각한다.
가끔은, (특히 처음 그 주제를 공부할 때면) 정말 정확한 정의를 몰라도 괜찮다고 생각한다. 어느 정도는 (잘못되지 않았다면) 모호한 정의로 출발해도 좋다고 생각한다. 이는 수학의 발전해온 방향과도 일치한다. 미분이 발명된 이후에, 수열과 극한과 대한 엄밀한 정의가 이뤄졌지만, 현재의 미분의 정의는 엄밀한 수열과 극한의 정의에 의존한다.
물론, 그 주제를 더 깊게 공부할수록 더 깊은 이해는 필수적이다. “왜 이 조건이 필요한지?”, “이게 실제로 의미하는 바는 무엇인지?” 처음에 이 모든 것을 알기를 기대하진 말자. 특히, 특히, 벡터 공간이 아니라, 더 추상적이고 어려워서, 수학 우물에 빠지기 더 쉬울 때…
벡터 공간는 이런 정의를 암기하는 것으로 배우는 것은 아니다.
벡터 공간은 집합 V와 체 S로 이뤄져 있으며, 다음과 같은 성질을 만족한다… … (성질들의 목록)
적어도 나는 이렇게 배우지 않았다. 들리는 바에 의하면, 다른 사람들도 이렇게 배우지 않았다고 한다. 벡터 공간에 대한 엄밀한 정의는 벡터 공간이 무엇인지 아는 사람을 위해 존재한다. 다시 말해서, 엄밀한 정의는 아마도 이미 아는 것을 상기시켜주기 위해 존재할지도 모른다.
그 대신에, 벡터 공간이 무엇인지 배우고 싶다면, 선형대수학에 대한 간단한 책을 사서 읽기 시작하는 것이 좋다. Linear Algebra and Its Applications (Strang, 1988) 을 방금 집어서 침대에 가져왔는데, 책의 초반부에는 벡터 공간은 정의되지도 않는다. 2장에서, 벡터 공간에 대한 아이디어가 엄밀하지 (1장에서 이미 소개된 $\mathbb{R}^n$에 집중하며) 않은 방식으로 소개되고, 그리고 벡터 공간의 중요한 성질을 강조한다. “두 벡터를 더한 것도 벡터이며, 벡터를 어떤 스칼라로 곱해준 것도 벡터이다.”라는 말과, 여러 예시를 보여준다.
선형대수를 공부할 때 사실 체가 뭔지 알 필요는 없다. 그냥, 선형대수를 배우는 것이다. 을 나중에 임의의 체를 공부할 때가 올 때, 이렇게 생각하는 편이 더 좋다고 생각한다. “벡터 공간이랑 비슷한데, 숫자가 아니라 그냥 임의의 원소가 들어갈 수 있는 경우.”
만약 당신이 끝나지 않는 수학 우물을 파고 있다면, 해보는 것도 가치가 있을지도 모른다. 라마누잔은 그렇게 수학을 배웠다고 한다. 하지만, 우리가 라마누잔 같은 천재가 아니라면, 라마누잔이 아닌 다른 사람들이 하는 방식으로 수학을 배우는 것이 좋다고 생각한다.
걍 내생각
수학뿐만 아니라 컴퓨터 공학에서도 이 규칙이 적용되는 것 같다. 그리고, 서두를 수록 수학 우물에 빠지기 쉬운 것 같다. 빠른 길은 없고, 그냥 오래 하고 많이 해야 하는 것 같다;;